Oplossen van differentiaalvergelijkingen

Vak Analyse I - 1e bachelor Ingenieurswetenschappen - K.U. Leuven

Citation
, XML
Authors

Abstract

Dit document beschrijft de oplossingsmethodes voor differentiaalvergelijkingen gezien in het van Analyse I in de eerste bachelor Ingenieurswetenschappen aan de K.U. Leuven. Het werkt als een algemeen stappenplan voor de aangeleerde methodes maar is zowel bruikbaar voor de studenten van de K.U. Leuven als voor iedereen die moeilijkheden heeft met het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

De aangeleerde soorten differentiaalvergelijkingen zijn volgende:

  • lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen
  • differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten
  • toepassing van de functie van Green
  • niet-lineaire differentiaalvergelijking van Bernoulli
  • differentiaalvergelijking van de vorm M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Dit stappenplan kan gewoon chronologisch gevolgd worden. Afhankelijk van de vorm van de differentiaalvergelijking zal een bepaalde oplossing van toepassing zijn.
Aangeraden gebruik, specifiek voor het vak Analyse I: Aangezien het vak open boek is en je je eigen notities mag meenemen (let wel: geen kopies!), is volgende methode aan te raden:
Je overloopt dit stappenplan met je boek Analyse ernaast, je schrijft kort elke stap op, maar markeert de formules in je boek. De formules hier zijn zo letterlijk mogelijk overgenomen en zo vermijd je fouten en onoverzichtelijkheid.
1. Lineaire eerste orde differentiaalvergelijking
Een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking heeft volgende vorm:
y'(x) = b_{1}(x)y + b_2(x)
De functies b_{1}(x)  en b_{2}(x) zijn constanten of functies afhankelijk van x.
Indien je vergelijking niet voldoet aan deze vorm, sla je deze stap over.
1. Oplossing voor de homogene vergelijking y_1'(x)  =b_{1}(x)y_1
Herschrijf de vergelijking zodat je enkel termen overhoudt waaruit y' en y geïsoleerd kunnen worden, zodat ze deze vorm krijgt: y_1'(x)  =b_{1}(x)y_1. De term b_2(x) is onafhankelijk van y en wordt dus uit de homogene vergelijking geschrapt.
Deze vergelijking noemt men de homogene lineaire eerste orde differentiaalvergelijking.
Herschrijf de vergelijking zodat je een vergelijking van deze vorm krijgt:
frac{y_1'}{y_1} = b_1(x)
Door beide leden te vermenigvuldigen met dx bekomt men hetvolgende:
intfrac{dy_1}{y_1} = int b_1(t)dt  aangezien y'=frac{dy}{dx}.
Los beide integralen op en men bekomt volgende uitkomst voor de homogene vergelijking:
y_{h}(x) = ccdot y_1(x) = c cdot exp(int b_1(t)}dt)

2. Een particuliere oplossing voor de niet-homogene vergelijking

Voor het vinden van een oplossing voor de niet-homogene vergelijking wordt de methode toegepast die de variatie van de contante heet. We zoeken een vergelijking van volgende vorm:
y_p(x)=c_1(x)y_1(x). Hierin moet je c_1 zien als de constante c van hierboven die nu afhankelijk is geworden van x en is y_1 de hierboven bekomen oplossing.
We vullen deze oplossing in in de differentiaalvergelijking en bekomen het volgende

c_1'(x)y_1(x) + c_1(x)y_1'(x) = b_{1}(x)c_1(x)y_1(x) + b_2(x)
Doordat c_1 afkomstig is uit de homogene vergelijking is volgende gelijkheid nog steeds geldig:
y'(x)  =b_{1}(x)y
Hierdoor bekomen we dus
c_1'(x)y_1(x) = b_2(x)
c_1(x) =int frac{b_2(t)}{y_1(t)}dt
Als we dit dan invullen in de bovenstaande vergelijking van de particuliere oplossing bekomen we de oplossing van de differentiaalvergelijking:
y(x) =left(  c+ int frac{b_2(t)}{y_1(t)}dt) right) cdot exp left( int b_1(t)dt right)
De constante c kan dan gevonde worden als we een beginwaardeprobleem hebben en we bijvoorbeeld weten dan y(x_0)=y_0 dan vinden we de oplossing door c=y_0 te nemen.

2. Differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten

Een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten heeft de volgende vorm:
a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_n=f(x)
Alle functies a_i(x) zijn dus constant of onafhankelijk van x.
Voldoet je vergelijking niet aan deze vorm, sla je deze stap over.
Een dergelijke vergelijking kan ook voorgesteld worden in functie van de differentiaaloperator D. De n-de orde afgeleide van y wordt dan voorgesteld als D^n y. Zo krijgt onze vergelijking de vorm
Ly=f waarin
L=a_0D^{(n)}+a_1D^{(n-1)}+...+a_n
Hiervan kunnen we een veelterm van graad n afleiden die we de karakteristieke veelterm noemen:
p(lambda)=a_0lambda^n+a_1lambda^{n-1}+...+a_n
1. Een fundamenteel stel oplossingen van het homogene deel Ly=0
We zoeken een oplossing voor de homogene vergelijking door de nulpunten te zoeken van de karakteristieke vergelijking. Met de nulpunten lambda_i wordt de vergelijking
p(lambda)=a_o(lambda-lambda_1)(lambda-lambda_2)...(lambda-lambda_n)
Deze vorm is niet echt van belang, maar illustreert dat de nulpunten lambda_i de nulpunten van de karakteristieke vergelijking zijn.
We gaan nu op zoek naar een fundamenteel stel oplossingen voor het homogene deel van de vergelijking. Een dergelijk fundamenteel stel is een serie functies die allemaal een oplossing zijn van de vergelijking, in deze functies zal altijd een nulpunt van de karakteristieke vergelijking verwerkt zijn.
1. p(lambda) heeft n verschillende reëele nulpunten
Heeft de karakteristieke vergelijking enkel reële nulpunten telkens met meervoudigheid 1, dan vormen de functies y_i(x)=e^{lambda_ix} een fundamenteel stel oplossingen voor de differentiaalvergelijking.
2. p(lambda) heeft meervoudige nulpunten
Het kan zijn dat de karakteristieke vergelijking één of meer meervoudige nulpunten heeft. De vergelijking heeft dan de vorm:
p(lambda)=a_o(lambda-lambda_1)^{m_1}(lambda-lambda_2)^{m_2}...(lambda-lambda_s)^{m_s}
Het fundamenteel stel oplossingen wordt dan gevormd door volgende functies:
e^{lambda_1x}, xe^{lambda_1x},... ,x^{m_1-1}e^{lambda_1x}
e^{lambda_2x}, xe^{lambda_2x},... ,x^{m_2-1}e^{lambda_2x}
e^{lambda_sx}, xe^{lambda_sx},... ,x^{m_s-1}e^{lambda_sx}
Het totaal van deze functies vormen dan het fundamenteel stel oplossingen.
3. p(lambda) heeft complexe nulpunten
Wanneer de karakteristieke veelterm (een) nulpunt(en) heeft van de vorm lambda_i=al+jbe, dan is ook lambda_k=al-jbe , het complex toegevoegde, een nulpunt.
In het geval dat deze nulpunten voorkomen met meervoudigheid m_i zijn volgende functies deel van het fundamenteel stel oplossingen:
y_i(x)=x^re^{al x}cos(be x) met r=0,1, ... ,m_i-1
y_k(x)=x^re^{al x}sin(be x) met r=0,1, ... ,m_i-1

De homogene oplossing voor Ly=0 heeft dan volgende vorm:
y_h(x)=sum_{i}^{}{c_icdot y_i(x) waarin c_i  nog onbekende constanten zijn. De waarde hiervoor zal gevonden worden als we beginvoorwaarden gegeven hebben. De methode hiervoor wordt later gegeven.

2. Particuliere oplossing van Ly=f
Voor het vinden van een particuliere oplossing splitsen we f(x) op in afzonderlijke termen f_i(x). Voor elk van die termen zoeken we een particuliere oplossing, als oplossing voor Ly=f_i(x).
Elke term behandel je als volgt.
1. f_i(x) is zelf een oplossing van een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten

f_i(x)  is een oplossing van een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten als het een functie is van de vorm

f_i(x)=P(x)e^{al x}cos(be x) + Q(x)e^{al x}sin(be x) met P(x) en Q(x) veeltermen afhankelijk van x.
Is f_i(x) geen term van die vorm, sla deze stap dan over.
Als onze term van bovenstaande vorm is, krijgen we een deel van de particuliere oplossing door de de variabelen van de bovenstaande vergelijking in te vullen in deze vergelijking:

y_{p,i}(x)=x^lcdot e^{al x}cdot left[ cos(be x)(c_0+c_1x+...+c_mx^m) + sin(be x)(d_0+d_1x+...+d_mx^m) right]

Hierin is l de meervoudigheid van het nulpunt al pm jbe in de karakteristieke vergelijking p(lambda ). Komt het nulpunt al pm jbe niet voor in de karakteristieke vergelijking, is l dus 0 en kan je deze factor verwaarlozen.
Deze particuliere oplossing wordt ingevuld in de differentiaalvergelijking Ly=f_i(x) en zo worden de constanten c_i en d_i bekomen. Merk op dat voor het invullen de afgeleiden eerst moeten berekend worden.
Als je een sinussen en/of een cosinussen hebt, is het een handige methode om het homogene deel (linkerlid) te splitsen in 2 termen, door sin(be x) en cos(be x) te isoleren, en de termen die hierbij horen gelijk te stellen aan de respectievelijke termen van f_i(x) (rechterlid).

2. f_i(x) is zelf geen oplossing van een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten

Als f_i(x) geen oplossing is van een homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, kunnen we gebruik maken van de methode die gebruik maakt van de functie van Green.
Met y_1(x),y_2(x),...,y_n(x) een fundamenteel stel oplossingen van de homogene vergelijking, die we hierboven bekomen hebben, dan wordt de functie van Green als volgt gevormd:

De functie van Green is dus onafhankelijk van f_i(x).
De particuliere oplossing is dan als volgt:
y_{p,i}(x)=int_{x_0}^{x} K(x,t)frac{f_i(t)}{a_0(t)}dt

De volledige particuliere oplossing voor Ly=f wordt dan gevormd door alle oplossingen y_{p,i} bij elkaar op te tellen:
y_p=sum_{i}^{}{y_{p,i}}

De totale oplossing van de lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten is de som van de homogene oplossing (som van een fundamenteel stel oplossingen) en de particuliere oplossing:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=sum_{i}^{}{c_icdot y_i(x)+sum_{j}^{}{y_{p,j}}
De onbekende constanten in de oplossing kunnen we vinden als we een beginwaardeprobleem hebben. Dan zijn waarden voor x gegeven waarvoor we de uitkomst weten bij invulling in de differentiaalvergelijking of in één van zijn afgeleiden, als dat we onbekende constanen hebben.

3. Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen

1. De differentiaalvergelijking van Bernoulli
Een differentiaalvergelijking van Bernoulli heeft volgende vorm:
y'(x)=A(x)y(x)+B(x)y(x)^al met alne 0 en alne 1
Heb je geen differentiaalvergelijking van deze vorm, sla je deze stap over.
In een vergelijking van Bernoulli wordt gebruik gemaakt van volgende tranformatie:
y=z^be waarin be=frac{1}{1-al}
En dan bekomen we volgende vergelijking:
be z'(x)=A(x)z(x)+B(x)z(x)^{1-be+al be} met 1-be +al be=0
Hiervan kunnen we met voorgaande methodes de oplossingsvergelijking z(x) bepalen en door de transformatie toe te passen de oplossing voor y bekomen, namelijk y=z^be.
Indien be=frac{m}{n} met m een oneven en n een even getal, bekomen we ook een negatieve oplossing, namelijk y=-z^be.
Als al > 0 geldt ook de triviale oplossing yequiv 0.
2. Vergelijkingen van de vorm M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Deze vergelijking kan ook neergeschreven worden als volgt:
y'=frac{dy}{dx}=-frac{M(x,y)}{N(x,y)}
1. Uitzonderlijke vorm M(x)dx+N(y)dy=0

Als M(x) enkel afhankelijk is van x en N(y) enkel afhankelijk van y, heb je een speciale, eenvoudigere vorm. Is dit niet het geval, sla je deze stap over.

De oplossing van een dergelijke vergelijking kan makkelijk gevonde worden door het integreren van beide termen:
int M(x)dx+int N(y)dy=C
Na uitwerking kan y geïsoleerd worden als de oplossing van de differentiaalvergelijking.

2. Een exacte differentiaalvergelijking

Een differentiaalvergelijking is exact als er een G(x,y) bestaat waarvoor geldt dat frac{partial G(x,y)}{par x}=M(x,y) en frac{partial G(x,y)}{par y}=N(x,y).
Als dit geldt kan de oplossing voor de differentiaalvergelijking gevonden worden door:
G(x,y)=C

Om na te gaan of dit geldt, gebruiken we deze voorwaarde:
frac{partial M(x,y)}{par y}=frac{partial N(x,y)}{par x}
Als dit het geval is, is je vergelijking exact. Is dit niet het geval sla je deze stap over.

De oplossing is nu van de volgende vorm:
G(x,y)=int M(x,y)dx+F(y)

Reken hierin de integraal uit. Als je dan hiervan de partiële afgeleide neemt naar y, en dit gelijkstelt aan N(x,y), kan je de functie F(y) vinden als volgt:
frac{par G(x,y)}{par y}=frac{par int M(x,y)dx}{par y}+F'(y)
Hieruit isoleer je F'(y), en door integratie kan dan F(y) gevonden worden.

Na invullen krijg je volgende oplossing voor de differentiaalvergelijking:
G(x,y)=int M(x,y)dx+F(y)+C

3. Niet-exacte differentiaalvergelijking

Indien de differentiaalvergelijking niet exact is en dus niet voldoet aan bovenvernoemde voorwaarde, moeten we een integrerende factor Q(x,y) zoeken waarmee we M(x,y) en N(x,y) vermenigvuldigen en dan wel een exacte vergelijking bekomen.
De integrerende factor zoek je als volgt.

1. P(x)

Als M(x,y) en N(x,y) voldoen aan volgende voorwaarden:
frac{frac{partial M(x,y)}{par y}-frac{partial N(x,y)}{par x}}{N(x,y) is enkel afhankelijk van y.
(Indien niet, ga je naar de volgende stap)
Nu vinden we de integrerende factor als volgt:
P'(x)=P(x)frac{frac{partial M(x,y)}{par y}-frac{partial N(x,y)}{par x}}{N(x,y) 
De oplossing voor P(x) kan gevonden worden met de hoger beschreven methode.
En dan is Q(x,y)=P(x).
Vermenigvuldig M(x,y) en N(x,y) met deze factor en werk de exacte differentiaalvergelijking uit zoals hierboven beschreven.

2. P(y)
Als M(x,y) en N(x,y) voldoen aan volgende voorwaarden:
frac{frac{partial M(x,y)}{par y}-frac{partial N(x,y)}{par x}}{M(x,y) is enkel afhankelijk van x.
(!!! Is dit niet het geval, heb je een foute afleiding gemaakt, of is de vergelijking niet oplosbaar volgens de in dit document beschreven methodes!)
Nu vinden we de integrerende factor als volgt:
P'(y)=-P(y)frac{frac{partial M(x,y)}{par y}-frac{partial N(x,y)}{par x}}{M(x,y) 
De oplossing voor P(y) kan gevonden worden met de hoger beschreven methode.
En dan is Q(x,y)=P(y).
Vermenigvuldig M(x,y) en N(x,y) met deze factor en werk de exacte differentiaalvergelijking uit zoals hierboven beschreven.

Voldoet je vergelijking aan geen van bovenstaande voorwaarden, dan is ze niet oplosbaar met de in dit document beschreven oplossingsmethodes.

Indien er fouten gemaakt zijn in de methodes of formules, gelieve mij op de hoogte te brengen!
Deze methode is gebaseerd op de cursus Analyse I van prof. Paul Dierckx.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: